Тема 2.5. Изгиб

1. Основные понятия

2. Поперечная сила Q и изгибающий момент М.

Поперечная сила Q в произвольном поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме значений внешних сил, приложенных к балке по одну сторону от сечения.   

 Силам, поворачивающим относительно сечения оставленную часть балки по ходу часовой стрелки, приписывается знак плюс, а силам, поворачивающим относительно сечения, оставленную часть балки против хода часовой стрелки, приписывается знак минус (рис. 40).

Изгибающий момент М численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, приложенных по одну сторону от сечения.

 Внешним моментам, изгибающим ось балки выпуклостью вниз, приписывается знак плюс, а моментам, изгибающим ось балки выпуклостью вверх, – знак минус (рис. 41).

3. Особенности эпюр Q и M

1. На участке балки, где не действует распределенная нагрузка, на эпюре «Q» – прямая, параллельная оси эпюры, а на эпюре «М» – наклонная.

2. На участке балки, где действует распределенная нагрузка на эпюре «Q» – наклонная линия, а на эпюре «М» – парабола.

3. В точке, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре «Q» будет скачок, равный по модулю значению этой силы.

4. В точке, где приложена пара сил, на эпюре моментов будет скачок, равный по модулю значению этой пары.

5. Если эпюра «Q» пересекает ось эпюры, то на эпюры «М» в этой точке будет экстремум.

6. Если на концах балки не приложены пары сил, то моменты в этих точках равны нулю.

7. В балке с жестким защемлением можно не определять опорные реакции, а проставить характерные точки, начиная со свободного конца балки, и определять в них значения Q и М.

4. Напряжения при изгибе

Ранее было установлено, что при нагрузке, перпендикулярной к оси балки, в каждом сечении ее может возникать одновременно М и Q. Многочисленные подсчеты показывают, что в большинстве случаев при определении надежности балки решающим является изгибающий момент.

Нормальные напряжения, которые вызывает максимальный изгибающий момент М_мах определяется по формуле

Рис. 42

Из условия прочности вытекает решение 3 типов задач:

1. Проверка прочности: ;
2. Подбор сечения: ;
3.  Определение допускаемой нагрузки: .

Наряду с нормальными напряжениями в сечении могут возникать и касательные напряжения, которые появляются по возможной плоскости сдвига, причем эти напряжения действуют по двум взаимно перпендикулярным площадкам.

Касательные напряжения распределяются равномерно по ширине сечения. Величина касательных напряжений определяется по формуле Журавского:

5. Расчет на жесткость при изгибе

Проверяя балку на жесткость, определяют в балке прогибы и сравнивают их с нормативными, которые устанавливаются в зависимости от вида конструкции, ее категории и условий эксплуатации. Согласно СНиПам строительные конструкции на жесткость рассчитывают по нормативным нагрузкам, без учета коэффициентов перегрузки. Условие жесткости имеет вид:

, где

f_max – наибольшие значения прогиба в балке;

[f] – нормативная величина прогиба.

Изучив теоретический материал, можно приступить к решению практических задач по построению эпюр Q и М и подбору сечения из условия прочности при поперечном изгибе.

6. Пример выполнения практической работы №5

Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Цель: формирование умений построения эпюр внутренних силовых факторов в двухопорных и в консольных балках, определения значения М_мах с эпюры моментов.

Постройте эпюры поперечных сил и изгибающих моментов при поперечном изгибе для балок, изображенных на рис. 46 (а), 44 (а).

Схемы балок взяты из примера к задаче 5 (рис. 16, 17, МБ №1).

а) двухопорная балка:

Рис. 46

1. Опорные реакции:

Q₁ = 5 кн;   Q₂ = 25 кн.

2. Отметьте на балке характерные точки. Ими будут точки, в которых приложены сосредоточенные силы, пары сил, и там, где начинается и заканчивается распределенная нагрузка. Для данной балки отмечено 5 точек.

3. В каждой точке проведите сечение слева и справа и определите значение Q и М.

Q = 0

Q₂ = – Q₁ = – 5 кн

Определите значение М в точке О, где эпюра Q пересекает ось эпюры. В этой точке на эпюре М будет экстремум.

Рассмотрите левую часть балки до точки О.

Проверьте решение, проделав те же действия справа от точки О, где эпюра «Q» пересекает ось эпюры, в этом случае, для определения расстояния от точки 3 до точки О возьмите значение  с эпюры «Q», т. е. = 16,67 кн.

4. По найденным значениям Q и М постройте эпюру «Q» и «М» (рис. 43 б, в).

б) для консольной балки (рис. 47, а):

Рис. 47

особенность построения эпюры «Q» и «М» для консольной балки заключается в том, что опорные реакции в балке не определяются, а характерные точки проставляются со свободного конца балки. Это позволяет, используя метод сечения, отсекать левую часть балки, включая опору А. последующий ход решения и порядок построения эпюры «Q» и «М» аналогичен предыдущему построению.

Значения Q и М найдите, двигаясь справа налево от точки 1 до точки 4. Не забудьте о том, что правила знаков для моментов меняется на противоположные знаки, т. е.

Задание 2

Подбор сечения из условия прочности при поперечном изгибе

Цель: формирование умений подбирать надежные и экономичные сечения из условия прочности при поперечном изгибе.

Подберите сечение двутавра из условия прочности при изгибе (воспользутесь данными практической работы №11).

Расчетное сопротивление R = 210 МПа = 2100 кг/см².

а) для двухопорной балки (рис. 43):

Для элементов конструкций, работающих на поперечный изгиб, условие прочности имеет вид:

Отсюда подбор сечения осуществляется по формуле: