Тема 2.1. Основные положения сопромата. Растяжение и сжатие.

1. Введение. Внешние и внутренние силы Деформация, прочность и жесткость.

        Сопротивление материалов представляет собой часть механики, в которой рассматриваются вопросы расчета элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость.

        Сопротивление материалов опирается на знания теоретической механики. Но если объектом теоретической механики является абсолютно твердое тело, то в сопротивлении материалов рассматриваются деформированные твердые тела.

        На практике реальные части машин и сооружений подвергаются воздействию разного рода сил. Под действием этих сил происходит деформация тел, т. е. изменение взаимного расположения частиц. Если силы достаточно велики, возможно разрушение тела.

• Способность элемента конструкции не разрушаться под нагрузкой называют прочностью.
• Способность элемента конструкции давать малые, упругие деформации называют жесткостью.
• Способность элемента конструкции сохранять прямолинейную форму равновесия называют устойчивостью.

Внутренние силы в стержне

       Наиболее распространенным элементом конструкции является стержень, поэтому в сопротивлении материалов ему уделяют главное внимание. Продольная ось и поперечное сечение – основные геометрические характеристики стержня. Принимается, что поперечные сечения стержня перпендикулярные продольной оси, а продольная ось проходит через центры тяжести поперечных сечений.

Внутренними силами стержня называют силы взаимодействия между его отдельными частями, возникающими под действием внешних сил.

Рассмотрим стержень, находящийся в равновесии под действием системы внешних сил (рис. 30, а).

а)                                                                           б)

Рис. 30

Мысленно проведем произвольное поперечное сечение, которое делит стержень на две части – левую и правую. На правую часть стержня со стороны левой части действует система распределенных по поверхности поперечного сечения сил – внутренних сил по отношению к стержню в целом (рис. 30, б). Эту систему сил можно привести к главному вектору  и главному моменту , взяв центр тяжести сечения – точку О – в качестве центра приведения.

Внутренние силовые факторы

Разложив на выбранную систему координат  и , получим составляющие: Q_x; Q_y; N и M_x; M_y; M_z. Эти шесть величин называются внутренними силовыми факторами стержня в рассматриваемом сечении:

• N – нормальная (продольная) сила;
• M_x, M_y – изгибающие моменты;
• Q_x, Q_y – поперечные силы;
• M_z – крутящий момент.

Для определения внутренних силовых факторов в сопротивлении материалов используют метод сечения:

1.  Рассекаем тело.
2. Отбрасываем одну часть.
3. Заменяем действие отброшенной части внутренними силами.
4. Уравнения равновесия помогут определить величину внутренних усилий.

        Алгоритм применения метода сечения РОЗУ

2. Напряжения и деформации в точке

Вектором напряжения р называется интенсивность распределенных по сечению внутренних сил или количество внутренних сил, приходящихся на единицу площади (рис. 31). Его составляющие, лежащие в плоскости сечения, называются касательными напряжениями -τ, а составляющая, перпендикулярная сечению, – нормальным напряжением σ.

Рис. 31

Напряжения измеряются в единицах  (Па), σ – нормальные напряжения возникают от действия N-продольных сил.

τ – касательные напряжения возникают от действия Q-поперечных сил.

Основные допущения, принятые в сопротивлении материалов

1. Тела считают сплошными (без пустот) и однородными, т. е. свойства материала тела в разных точках одинаковы.
2. Материал тела изотропен, т. е. его свойства по всем направлениям одинаковы.
3. Деформации тела в каждой точке прямо пропорциональны напряжениям в этой точке. Это свойство называется упругостью или законом Гука.
4. Предполагается малость деформаций тела, а также малость перемещений самого тела.
5. Справедлив принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции).

Изучив основные понятия и законы сопротивления материалов, можно приступить к рассмотрению каждого вида деформации и выполнять расчеты на прочность, жесткость и устойчивость конструкций.

3. Растяжение. Сжатие.

============================================================

Продольные силы и нормальные напряжения в поперечном сечении бруса.

Вид деформации бруса, при котором в его поперечном сечении возникает только один внутренний силовой фактор – продольная сила N, называется растяжением или сжатием.

Прямой брус, работающий на растяжение (сжатие), называется стержнем.

Рассмотрим действие растягивающих внешних сил F и 3F на брус с жесткой заделкой (рис. 32). Для определения внутренних сил используем метод сечения: рассекаем мысленное брус; отбрасываем левую часть с опорой; ее действие заменяем продольной силой N, направленной от сечения; составляем уравнение проекции, из которого определяем значение внутреннего усилия.

• I сечение: S Fiz = 0:  N₁ – F = 0;  N₁ = F
• II сечение: S Fiz = 0: N₂ – F –3F= 0;  N₂ =4F

.Таким образом, продольная сила равна алгебраической сумме внешних сил, лежащих по одну сторону от сечения.

N считаются положительными, если внешние силы идут от сечения;

N считают отрицательными, если внешние силы идут к сечению.

При N > 0 – деформация растяжения; при N < 0 – сжатия.

==========================================================

Продольные деформации

Приложим к брусу длиной l₀ постоянного поперечного сечения площадью А внешнюю силу F. Длина стержня увеличивается на Dl, а поперечные его размеры уменьшатся (на рис. 33 пунктиром показан деформированный вид бруса).

•  – длина стержня в деформированном виде.
•  – абсолютное удлинение.
•  – относительное удлинение.

Зависимость между силами и удлинениями впервые получена Р. Гуком и получила название закона Гука.

•  – закон Гука.

Напряжения прямо пропорциональны относительным деформациям.

Е – коэффициент упругости I рода (модуль Юнга), чем больше Е, тем меньше продольная деформация.

Для стали Ст3  Е = 2×10⁶ кг/см².

 – закон Гука (2-я форма записи)

АЕ – жесткость поперечного сечения бруса.

============================================================

Поперечные деформации

Вновь рассмотрим растянутый брус (рис. 34), уделяя внимание поперечному сужению. Кроме абсолютного удлинения Dl происходит и уменьшение поперечного сечения образца, т. е. абсолютное сужение 

–  относительное сужение (поперечная деформация), тогда  закон Гука будет иметь вид .

Экспериментально доказано, что продольная и поперечная деформации пропорциональны друг другу .

 – коэффициент Пуассона, показывает какую часть, составляет относительная поперечная деформация от относительной продольной деформации: .

============================================================

Расчеты на прочность при растяжении и сжатии

Расчет по допускаемым напряжениям.

Сущность метода по допускаемым напряжениям сводится к тому, чтобы наибольшие напряжения в элементах конструкций не превышали значения предела прочности материала, который называется допускаемым напряжением.

Существуют три вида расчета на прочность:

============================================================

Расчет по предельному состоянию.

Под предельным состоянием понимают такое состояние, при  котором конструкция перестает удовлетворять заданным эксплуатационным требованиям или требованиям, предъявляемым в процессе возведения здания и сооружения.

При расчете по предельным состояниям устанавливаются два значения нагрузок: нормативные и расчетные.

, q_p= q_H.γ_f – расчетная нагрузка определяется умножением нормативной нагрузки на коэффициент надежности по нагрузке (коэффициент перегрузки).

Основными параметрами сопротивления материалов внешним воздействием являются нормативные сопротивления R_Н (устанавливаются ГОСТами). Чтобы обеспечить требуемую надежность конструкции вводят R – расчетное сопротивление материалов:  , где g_m – коэффициент надежности по материалу.

Расчет на прочность при растяжении (сжатии) ведется с учетом коэффициентов:

4. Пример выполнения Практическая работа: Построение эпюр продольных сил N и нормальных напряжений при растяжении (сжатии)

Цель: формирование умений построения эпюр внутренних усилий и подбору сечения из условия прочности при растяжении (сжатии).

Задание: постройте эпюры продольных сил N и нормальных напряжений s при растяжении (сжатии).

Решение

Условие задачи: по оси ступенчатого стержня (рис. 35, а) приложены силы F₁ и F₂, значения которых, а также площади поперечных сечений и длины участков указаны на рисунке. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений и определить полное удлинение стержня. Модуль продольной упругости материала стержня .

Решение: верхний конец стержня жестко заделан (рис.35). Нижний конец свободен. Для определения внутренних усилий разбейте стержень на участки, начиная со свободного конца. Границами участков являются точки, в которых приложены внешние силы или в которых изменяются размеры поперечного сечения стержня. Рассмотрите брус по высоте. Первый участок АВ от точки приложения силы F₁ до точки В, в которой меняется сечение. Второй участок ВС от точки В до точки, в которой приложена сила F₂ до заделки. Пользуясь методом сечения, определите внутренние продольные силы в сечениях стержня. Поскольку нижний конец не закреплен, удобнее начинать именно с него, не определяя реакции заделки стержня.

Проведите сечения в любом месте каждого участка. Оставшуюся часть уравновешивайте внутренней продольной силой N. Продольная сила равна алгебраической сумме внешних сил, приложенных в сечении.

Рис. 35

Продольная сила считается положительной, если внешние силы направлены от стержня, т. е. вызывают его растяжение.

По найденным значениям N и s постройте их эпюры. Для этого проведите ось эпюры, параллельно оси стержня. Вправо и влево от оси эпюры откладывайте соответственно положительные и отрицательные значения N и d. На эпюре обязательно ставьте знаки, подписывайте значения отложенных ординат, выполняют штриховку перпендикулярно оси эпюры (см. рис. 35 д, е).

Определите полное удлинение стержня:

.