Тема 1.4. Центр тяжести

1. Координаты центра тяжести.

Сила тяжести – это сила, с которой тело притягивается к Земле. Точка, в которой прикладывается сила тяжести, называется центром тяжести.

Рис. 19

Возьмем плоскую фигуру, разобьем ее на элементарные квадраты, в котором:

• А_i– площадь;
• Х_i– расстояние от центра тяжести простой фигуры до выбранной оси у;
• У_i– расстояние от центра тяжести простой фигуры до выбранной оси х;
• С_i– центр тяжести простой фигуры.

Произведение площади элементарного квадрата на кратчайшее расстояние ее до какой-либо оси, лежащей в той же плоскости, называется статическим моментом элементарного квадрата относительно данной оси. Сумма же этих произведений, распространенная на всю площадь фигуры, называется статическим моментом площади относительно оси, т.е. Аi · x_i или Аi · у_с.

Координаты центра тяжести любого сечения будут определяться по формулам:

2. Центры тяжести прокатных профилей

Сталь, играющая огромную роль в современном строительстве, поступает с завода главным образом в виде проката, т.е. в виде полос, листов, уголка, балок и др. Эти материалы, удовлетворяющие всем требованиям в отношении однородности механических свойств и точности размеров, составляют нормальный сортамент прокатной стали.

    двутавр      швеллер         уголок                  уголок

                                         равнобокий          неравнобокий

Рис. 24

Таблицы сортамента прокатного металла даются в ПРИЛОЖЕНИЕ СОРТАМЕНТ СТАЛЬНЫХ ПРОФИЛЕЙ

Зная центры тяжести простых геометрических фигур и прокатных профилей, а также формулы для определения координат центра тяжести, можно использовать эти знания для определения площадей и координат центра тяжести фигур, составленных из простых геометрических тел или из прокатных профилей. Решение этих задач обрабатывается на практических работах.

3. Пример выполнение -Практическая работа №4

Определение центра тяжести составных геометрических фигур

Цель: формирование умений определять площади и центры тяжести составных геометрических фигур, рассчитав координаты центра тяжести.

Задание: определите координаты центра тяжести сечения, составленного из простых геометрических фигур.

Решение:

1. Разбейте фигуру на простые составные части с центрами тяжести С₁; С₂; С₃.
2. Проведите координатные оси, совместив ось у с осью симметрии. Поскольку сечение симметрично оси у, следовательно Х_с= 0. Ось х провели перпендикулярно оси у по нижней грани сечения.

Рис. 25

3. Запишите формулу для определения координаты у_с:

у_с=  , отсюда

А₁ = А₂ = b₁ · h₁ = · 45 · 15 = 337,5 см²

А³ = b₃ · h₃ = 75 · 25 = 1875 cм²

у₁ = у₂ = · h₁ = · 45 = 30 cм

у₃ = · h₃ = · 75 = 37,5 см

4. Подставьте найденные значения в формулу и определите у_с:

Итак, точка С имеет координаты 0; 35,5.

5. Покажите на рис.6 положение центра тяжести С.

Задание №2

Определение центра тяжести составных прокатных профилей

Цель: формирование умений определять положение центра тяжести составных прокатных профилей, рассчитав его координаты. Уметь пользоваться справочной литературой.

Задание: определите координаты центра тяжести сечения, составленного из прокатных профилей (рис. 26).

Рис. 26 

Решение

1. Разбейте сечение на составные профили проката:

1) уголок неравнобокий – 110 х 70 х 8;

2) уголок неравнобокий – 110 х 70 х 8;

3) швеллер №22.

Положение центра тяжести примите по сортаменту:

С₁; С₂; С₃.

2. Положение координатных осей примите следующим образом: ось х совместите с осью симметрии сечения, следовательно координата у_с = 0.

Ось у проведите перпендикулярно оси х через центры тяжести неравнобоких уголков С₁ и С₂.

3. Выпишите из соответствующих таблиц «Приложения»площади профилей и, используя размеры, найдите абсциссы их центров тяжести.

Уголок 110 х 70 х 8: В = 11см; b = 7 cм; d = 0,8 см;           А = 13,9 см²

х₀ = 1,64 см; у₀= 3,61 см.

Швеллер №22: h = 22 см; b = 8,2 см; z = 2,21 см; d = 0,54 см;

t = 0,95 см; А = 26,7 см².

х₁ = х₂ = 0, т.к. ось у проведена через центры тяжести С₁ и С₂.

х₃ = 30 – х₀₁ – Z₀₃ = 30 – 1,64 – 2,21 = 26,15 см.

4. Определите координату центра тяжести Х_с:

5. Точка С имеет координаты: 12,8; 0. Нанесите найденный центр тяжести на рисунок сечения (рис. 19).