Тема 1.3. Пространственная система сил

1. Разложение силы по трем осям координат

Приведение силы к точке

Пусть дана сила F, приложенная к точке А твердого тела, и ее требуется перенести в точку О (рис. 13а).

Приложим к телу в точке О (рис. 13, б) уравновешенную систему сил F’ и F”, параллельных F и равных ей по модулю. Теперь кроме силы F”, приложенной в точке О, образовалась пара сил (F, F’) с моментом М = F * h, т.е. М = М₀(F). Таким образом, всякую силу F, приложенную к телу в точке А, присоединив пару сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки ее приложения, можно перенести параллельно линии действия в любую точку О.

Операция такого переноса силы называется приведением силы к точке, а появляющаяся при этом пара (F, F’) с моментом М = М₀(F) называется присоединенной парой (рис. 13, в). Операция приведения силы к точке имеет глубокий физический смысл.

Приведение системы сил к точке.

Пусть дана система сил F₁, F₂, F₃, F₄, расположенных как угодно на плоскости (рис. 14). Требуется сложить эти силы.

Рис. 14

Возьмем произвольную точку О и приведем все данные силы к этой точке, воспользовавшись способом приведения силы к точке. В результате приведения получим силы, эквивалентные заданным (на чертеже они отмечены двумя черточками) и присоединенные пары (F₁, F₁’), (F₂, F₂’), (F₃, F₃’), (F₄, F₄’), моменты которых равны моментам данных сил относительно точки О, т.е. М₁ = М₀(F₁), М₂ = М₀(F₂), М₃ = М₀(F₃), М₄ = М₀(F₄).

Складывая силы F₁’, F₂’, F₃’, F₄’, получим результирующую силу Rгл:

Rгл = F₁’ + F₂’ + F₃’ + F₄’

Складывая пары (F₁, F₁’), (F₂, F₂’), (F₃, F₃’), (F₄, F₄’), получим результирующую пару, момент которой Мгл равен:

Мгл = М₁ + М₂ +  М₃ +  М₄, т.е. Мгл = SМ₀(Fi) – момент результирующей пары равен алгебраической сумме моментов данных сил относительно точки О.

Rгл – главный вектор

Мгл – главный момент, следовательно: система сил, расположенных как угодно на плоскости, всегда может быть приведена к силе, равной их главному вектору и к паре, момент которой равен главному моменту данных сил относительно точки приведения.

2. Равновесие системы. Три виды уравнения равновесия.

Условие равновесия плоской системы произвольно

расположенных сил

Необходимые и достаточное условие равновесия плоской системы сил состоит в том, чтобы главный вектор этой системы и ее главный момент были равны нулю.

Rгл = 0,   Мгл = 0

При решении задач статики задаются нагрузками, а по ним определяют реакции опор. Сами задачи решаются с применением алгебраических методов с помощью систем уравнений, которые получают из условия равновесия.

Уравнения равновесия и их различные формы

Рассмотрим три формы уравнений равновесия для произвольной плоской системы сил.

1. Первая форма уравнений равновесия вытекает непосредственно из условия равновесия плоской системы сил:

SFх = 0;                   SFу = 0; SМ₀(Fi) = 0.

т.е. если плоская система сил уравновешена, то алгебраические суммы проекций всех сил на оси х и у равны нулю, а также равна нулю алгебраическая сумма моментов всех ил относительно любой точки.

2. Вторая форма уравнений равновесия получается, если вместо одного уравнения моментов составить два и к ним добавить одно уравнение проекций, кроме той, которая перпендикулярна прямой, проходящей через центры моментов в первых двух уравнениях, т.е.

SМ_А(Fi) = 0;            SМ_В(Fi) = 0;         SFх = 0.

3. Третья форма уравнений равновесия получается, если вместо уравнения проекций к двум уравнениям моментов относительно двух произвольно взятых точек А и В добавить третье уравнение моментов сил относительно какой-либо точки С, не лежащей на прямой АВ, т.е.

SМ_А(Fi) = 0;            SМ_В(Fi) = 0;         SМ_С(Fi) = 0

Пространственная система сил. Условие равновесия

Система сил, линии действия которых расположены как угодно в пространстве, называется пространственной.

Силы F₁, F₂, F₃ образуют простейшую пространственную систему сил (рис. 15).

Рис. 15

 SF – равнодействующая, равна диагонали параллелепипеда, ребра которого равны и параллельны заданным силам.

Определить величину этой равнодействующей можно методом проекций.

Если SF = 0, то сходящаяся система сил уравновешена, тогда должны быть равны нулю каждая из трех проекций равнодействующей на оси х, у, z (рис. 16).

Рис. 16

Таким образом, аналитическое условие равновесия пространственной системы сил выражается тремя уравнениями:

SFх = 0;                   SFу = 0; SFz = 0

Зная уравнения равновесия систем сил можно решать задачи статики по определению реакций опор, опираясь на правила и выводы, сформулированные в УЭ №1, 2, 3, 4.

3. Связи и их реакции.

4. Пример выполнения практической работы №3

Практическая работа № 5

Определение опорных реакций

Цель: формирование умений определять опорные реакции в балках или в рамных конструкциях, используя условия равновесия системы сходящихся или произвольно расположенных сил.

Задание:

Определите опорные реакции балок двухопорной или жестко защемленный.

а) двухопорная балка (рис. 17, а); б) расчетная схема двухпорной балки

Рис. 17

 Решение

1. Обозначьте шарнирно-неподвижную опору А, шарнирно-подвижную В.

2. Освободитесь от связей, заменив их действие реакциями связей Y_А; Н_А;Y_B (рис. 17, б).

3. Замените распределенную нагрузку q сосредоточенной силы Q.

Q = q · l = 10 · 3 = 30кн

4. Выполните расчетную схему, показав на ней все силы, действующие на балку (рис. 7б).

5. Выберите форму записи уравнений равновесия плоской системы произвольно расположенных сил.

Для двухопорной балки 2-я форма записи уравнений равновесия.

Если это равенство не удовлетворяется, то при определении опорных реакций была допущена ошибка.

б) консольная балка.

Балка с защемленной опорой называется консолью. Защемляющая неподвижная опора лишает балку всех трех степеней свободы, соответственно в защемлении появляются три неизвестные реакции: Y_A; Н_А; М_А      (рис.18, а, б).

Рис. 18 

Распределенную нагрузку интенсивностью q замените на сосредоточенную силу Q:

Реакции вычислены правильно.

Варианты заданий к практической работе №3 даны в приложении 3. Выполните свой вариант задания.